尽管yyp老师教导我们不能为了金钱学习,我也在公开场合表达了这一观点,但是看到悬赏30块钱的时候,我还是动心了.(第一次在线上和和睿合作写了个几何题,不知道效果如何......)
先看一看题目吧:
题目:设 外心为 ,外接圆为 ,设 在圆 上的对径点为 ,内心为 ,内切圆为 ,切 边于 点,设 的 旁心为 , 旁心为 , 旁切圆为 ,切 的延长线于 .
求证:
看起来这道题有点意思哦,一堆内心旁心乱连竟然可以连出一个垂直来,着实让人受教了.但是转念一想,在垂直问题中,最一般的方法就是倒角了,但是在这道题里就......了.所以我们得想一下高大上的方法,比如说极点极线，根轴, 等差幂线定理之类的.经过一分钟的深思熟虑,我选择了等差幂线,于是一路整完.
证明: 我们先证明一个引理:
引理(等差幂线定理):平面上有四个点 满足 , 那么就有: .
引理的证明:设 交于 点,对 运用余弦定理,我们可以得到:
于是根据条件可以得到:
经过简单的代数变形,我们可以得到:
因此, ,所以, .引理Q.E.D.
下面我们回到原题进行证明:
连接 ,只要证明 即可.
连接 ,作 .有
同理, Q.E.D.